دانلود جدول و فرمول‌های مهم انتگرال ریاضی

در این مقاله از مجموعه مقالات آموزشی و مشاوره تحصیلی متوسطه دوم استادبانک، تصمیم گرفتیم راجع به انتگرال و فرمول‌های مهم آن صحبت کرده و توضیحات کاربردی را راجع به آن بیان کنیم. انتگرال یکی از مهم‌ترین فرمول‌ها از مباحث درسی و در بخش آموزش ریاضی محسوب می‌شود. برای برخی از دانش‌آموزان این مبحث انتگرال بسیار سخت و دشوار است. از طرفی طریقه آموزش آن بسیار دشوار بوده و از طرفی یادگیری و درک آن برای دانش‌آموزان چالشی است.

به دلیل اهمیت این مبحث از مباحث ریاضی در زمان امتحانات و کنکور، تصمیم داریم بیشتر این مبحث بسیار مهم را باز کنیم. پس این محتوا را از دست ندهید.

تاریخچه انتگرال در ریاضیات؛ نکاتی که شاید برای‌تان جذاب باشد!

بیش از دو هزار سال پیش ارشمیدس (۲۸۷-۲۱۲ قبل از میلاد) فرمول هایی را برای محاسبه سطح وجه ها، ناحیه ها و حجم های جامد مثل کره، مخروط و سهمی یافت. روش انتگرال گیری ارشمیدس استثنایی و فوق العاده بود جبر، نقش های بنیادی، کلیات و حتی واحد اعشار را هم نمی‌دانست.

لیبنیز (۱۷۱۶-۱۶۴۶) و نیوتن (۱۷۲۷-۱۶۴۲) حسابان را کشف کردند . عقیده کلیدی آنها این بود که مشتق گیری و انتگرال گیری اثر یکدیگر را خنثی می کنند با استفاده از این ارتباط ها آنها توانستند تعدادی از مسائل مهم در ریاضی ، فیزیک و نجوم را حل کنند.

فوریر (۱۸۳۰-۱۷۶۸) در مورد رسانش گرما بوسیله سلسله زمان های مثلثاتی را می خواند تا نقش های بنیادی را نشان دهد. رشته های فوریر و جابجایی انتگرال امروزه در زمینه های مختلفی چون داروسازی و موزیک اجرا می شود.

گائوس (۱۸۵۵-۱۷۷۷) اولین جدول انتگرال را نوشت و همراه دیگران سعی در عملی کردن انتگرال در ریاضی و علوم فیزیک کرد . کایوچی (۱۸۵۷-۱۷۸۹) انتگرال را در یک دامنه همبستگی تعریف کرد. ریمان (۱۸۶۶-۱۸۲۶) و لیبیزگو (۱۹۴۱-۱۸۷۵) انتگرال معین را بر اساس یافته های مستدل و منطقی استوار کردند.

لیوویل (۱۸۸۲-۱۸۰۹) یک اسکلت محکم برای انتگرال گیری بوجود آورد بوسیله فهمیدن اینکه چه زمانی انتگرال نامعین از نقش های اساسی دوباره در مرحله جدید خود نقش اساسی مرحله بعد هستند. هرمیت (۱۹۰۱-۱۸۲۲) یک شیوه علمی برای انتگرال گیری به صورت عقلی و فکری ( یک روش علمی برای انتگرال گیری سریع ) در دهه ۱۹۴۰ بعد از میلاد استراسکی این روش را همراه لگاریتم توسعه بخشید.

در دهه بیستم میلادی قبل از بوجود آمدن کامپیوترها ریاضیدانان تئوری انتگرال گیری و عملی کردن آن روی جداول انتگرال را توسعه داده بودند و پیشرفت هایی حاصل شده بود.

در میان این ریاضیدانان کسانی چون واتسون، تیچمارش، بارنر، ملین، میچر، گرانبر، هوفریتر، اردلی، لوئین، لیوک، مگنوس، آپل بلت، ابرتینگر، گرادشتاین، اکستون، سریواستاوا، پرودنیکف، برایچیکف و ماریچیف حضور داشتند.

در سال ۱۹۶۹ رایسیچ پیشرفت بزرگی در زمینه روش علمی گرفتن انتگرال نامعین حاصل کرد. او کارش را بر پایه تئوری عمومی و تجربی انتگرال گیری با قوانین بنیادی منتشر کرد روش او عملاً در همه گروه های قضیه بنیادی کارگر نیست تا زمانی که در وجود آن یک معادله سخت مشتق گیری هست که نیاز دارد تا حل شود. تمام تلاش ها ااز آن پس بر روی حل این معادله با روش علمی برای موفقیت های مختلف قضیه اساسی گذاشته شد . ایت تلاش ها باعث پیشرفت کامل سیر و روش علمی رایسیچ شد. در دهه ۱۹۸۰ پیشرفت هایی نیز برای توسعه روش او در موارد خاص از قضیه های مخصوص و اصلی او شد.

از قابلیت تعریف انتگرال معین به نتایجی دست میابیم که نشان دهنده قدرتی است که در ریاضیات می باشد (۱۹۸۸) جامعیت و بزرگی به ما دیدگاه موثر و قوی در مورد گسترش در ریاضیات و همچنین کارهای انجام شده در قوانین انتگرال می دهد. گذشته از این ریاضیات توانایی دارد تا به تعداد زیادی از نتیجه های مجموعه های مشهور انتگرال پاسخ دهد ( اینکه بفهمیم این اشتباهات ناشی از غلط های چاپی بوده است یا نه ). ریاضیات این را ممکن می سازد تا هزاران مسئله انتگرال را حل نماییم به طوریکه تا کنون در هیچ یک از کتابهای دستنویس قبلی نیامده باشد. در آینده دیگر وظیفه ضروری انتگرال این است که به ازمایش تقارب خطوط، ارزش اصلی آن و مکانیسم فرض ها بپردازد.

برای یادگیری درسی مانند انتگرال باید چه کنیم؟

یکی از مهم‌ترین دروس ریاضیَ مبحث انتگرال است. ریاضی در مبحث انتگرال همانند سایر مباحث خود به صورت سلسله‌وار بوده و دانش‌آموز اگر بخواهد این مبحث را به خوبی یاد بگیرد، باید در ابتدا مباحث پایه‌ای مرتبط با فرمول‌های انتگرال را یاد گرفته و سپس به سراغ مباحث جدید‌تر برود. بنابراین در این مرحله تاکید ما روی معلم خصوصی ریاضی است. فردی بهترین جایگزین برای معلم کلاس بوده و می‌تواند تمام آموزش‌های اشتباه دانش‌آموزان و مباحث به اشتباه یاد گرفته آن‌ها را تصحیح کرده و بهترین و بهینه‌ترین شکل آموزش را به آن‌ها نمایش دهد.

منابع یادگیری در کنار آموزش معلم خصوصی ریاضی و همچنین حل تمرین زیاد تنها راه‌های کسب موفقیت در تمام فرمول‌های ریاضی به خصوص فرمول‌های انتگرال است.

 انتگرال گیری در ریاضی

انتگرال چیست و جه کاربردی دارد؟ توضیحات زیر مروری بر مفهوم انتگرال در ریاضی است:

در ریاضیات، انتگرال (به فرانسوی: Integral)، روشی برای اختصاص اعداد به توابع است؛ به گونه‌ای که جابجایی، مساحت، حجم و دیگر مفاهیم برآمده از ترکیب داده‌های بی‌نهایت کوچک را به وسیله آن بتوان توصیف کرد. انتگرال‌گیری یکی از دو عمل مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است، که عمل دیگر آن (عمل معکوس) دیفرانسیل‌گیری یا همان مشتق‌گیری است.

انتگرال یعنی برای تابع داده شده‌ای چون f از متغیر حقیقی x و بازه از خط حقیقی:

همچنین بیشتر بخوانید:

نکات بسیار مهم از کلاس دوازدهم ریاضی

قوانین انتگرال ‌گیری در ریاضی

اصول انتگرال‌گیری به‌طور مستقل توسط اسحاق نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز در اواخر قرن هفدهم میلادی قاعده‌بندی شد، آن‌ها انتگرال را به صورت جمع مستطیل‌هایی با عرض‌های بی‌نهایت کوچک می‌دیدند. برنارد ریمان تعریف دقیقی از انتگرال ارائه نمود. این تعریف بر اساس فرایند حد گیری است که مساحت زیر نمودار یک خم را با شکستن آن ناحیه به قطعات نازک عمودی تخمین می‌زند. با شروع قرن نوزدهم میلادی، مفاهیم پیچیده‌تری از انتگرال ظهور پیدا کرد که در آن نوع تابع به علاوه دامنه انتگرال‌گیری تعمیم یافت. انتگرال خطی برای توابع دو یا چند متغیره تعریف شده‌است و بازه انتگرال‌گیری [�,�] در آن با خمی که دو نقطه ابتدا و انتهای انتگرال‌گیری را به هم متصل می‌کند جایگزین شده‌است. در انتگرال سطح (یا انتگرال رویه ای)، خم با یک رویه در فضای سه بعدی جایگزین می‌شود.

انتگرال معین در ریاضیات :

به‌طور صوری به عنوان مساحت علامت‌دار ناحیه‌ای از صفحه xy که به نمودار f، محور x و خطوط عمودی x=a و x=b محدود شده‌است. نواحی بالای محور x به مساحت کل افزوده و نواحی پایین محور x از آن می‌کاهند.

عملیات انتگرال‌گیری، در حد یک مقدار ثابت (یعنی بدون در نظر گرفتن یک مقدار ثابت)، معکوس عملیات دیفرانسیل‌گیری است. بدین منظور، اصطلاح انتگرال را می‌توان به معنای پاد-مشتق نیز به کار برد، یعنی تابعی چون F که مشتقش تابع داده شدهٔ f باشد. در این حالت به انتگرال f، انتگرال نامعین گفته شده و به صورت زیر نوشته می‌شود:

انتگرال‌هایی که در این مقاله مورد بحث قرار می‌گیرند از نوع انتگرال معین اند. قضیه اساسی حساب، دیفرانسیل‌گیری را به انتگرال معین ارتباط می‌دهد: اگر f یک تابع پیوسته حقیقی مقدار روی بازهٔ  باشد، آنگاه زمانی که پاد مشتق f یعنی F، معلوم باشد، انتگرال f روی آن بازه مساوی است با: